線形代数弐 写像とは

 youtube中毒者の皆さんなら絶対一回は聞いたことのある

 ”写像?写像ってなんすか?”

に今日はお答えしていきたいと思います。 

※某氏のセリフは実際は写像そのものの意味を訪ねているのではなく、文脈がぶっとんでるから今はどの「シャゾウ」なのかわからなかったとの意らしいので今回の意味とは異なります

写像の意味

 写像の意味を辞書で引くと次のように出てきます。

「集合Xの任意の元xに対して集合Yの一つの元yが対応するとき、この対応付けをXからYへの写像という。」(岩波理化学辞典)

 ここでいう元は要素と思ってもらえれば十分です。ある2つの集合があって、一方の集合から適当に一つ選べばもう一方の何かしらが対応する。その対応付けを写像というそうです。

 また、写像fにより元xが元yに対応付けられるときf: x → y と書きます。

例えば

 例えばライトはある種の写像として考えることもできます。実物の手を、黒い平面上の手に対応付けるのはライトですから、これは写像です。ライトは集合Xが実物の集合、Yが影絵の集合としたときに ライト : 実物 → 影絵 という風にあらわされる写像です。

数学で例えると

 関数は写像の非常にいい例でしょう。

 例えば x の関数 f(x) = x² (x ∊ R) は、1を1に、-3を9にといった風に、任意の実数をある正の数に対応付ける写像です。

 写像がどんなものかイメージわきましたか?                                                                       

 ここで皆さんに質問。次の問に答えてください 。

 

 Q. ① f : ℝ → ℝ : θ → sinθ と②f : ℝ → ℝ : x → 1/x はそれぞれ写像か.(ℝ→ℝはfが実数から実数へ対応付けることを表す)

 

ーーーーーーーーーーーこの下に解答ーーーーーーーーーーー

 

 

 

 A. ①は写像であり、②は写像でない。x=0は実数に属しているが 1/0 は定義されない。

 引っ掛かりましたか?写像の定義は、対応させる側の集合すべての要素をもう一方の要素に対応づけるものです。同じようにf(x) = logx.f(x) =tanxも写像にはなりませんね。関数すべてが写像ではないことに注意!

線形代数の話は?

 線形代数でも写像が出てくるんですよ。なにかって?それが行列です。行列は主に二つの顔を持ちます。

①数を長方形状に並べたもの/②線形写像

 行列は下のように単体でいるとただの数字の並びです

 しかし、このようにほかの行列に作用させると、それを別の行列に変化させる写像となるのです。

(画像の演算が何かはわからなくても全然OK!)

 この行列が写像としてどのようにふるまうのか…といった話は実は教科書では結構後ろの話だったりするんですが、線形代数は主としてこの行列を扱います。行列の基本的な性質(線形性の話含む)、行列を使った演算、最終的には行列の写像としての扱いについて、このウェブサイトではあつかっていこうと思っていますので見てください!

難しい蛇足

ここからは興味なかったり難しいという方は読まなくてOK!

 行列は数を並べたものと言いましたが、本当にそれ以上の意味はありません。行列ってベクトルに似てるなーと思う方もいらっしゃると思いますのでそこの違いをここに記しておきます。ベクトルは基底というものがあり、一時独立な複数の単位の実数倍の和で定義される物理量ですが、行列はそのような意味は持っておらず、ただ数字の羅列です。

 実は、行列のように2以上×2以上の数の並びでも基底を持つ物理量も考えられており、それをテンソルと言います。三つの基底が張る空間で立体的に存在する3×3×3の物理量を表したりするときに利用するそうです。私もそこまで詳しく教えられませんが物理を勉強しているとそのうち使うかもしれませんし、ぜひご自分で調べてみてください。

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