絶対わかるε-δ(イプシロンデルタ)論法の使い方

 すべての大学生の前に立ちはだかる第一の壁とか言われるこれを扱っていくぞ!

 (このサイトでは常に質問を受け付けております!コメント欄に質問をいただくと後に記事にてお答えいたしますのでバシバシ質問ください!!)

まずは定義

 ε-δ論法は次のように関数の連続を定義します。

”関数f(x)がx=aで連続であることは次に等しい。任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、0 < |x − a| < δ を満たす全ての実数 x に対し、|f(x) − f(a)| < ε が成り立つ。”(wikipediaより部分抜粋)

 日本語で若干わかりやすく言い換えるとこんな感じ

”関数f(x)がx=aで連続であることは次に等しい。あるaに近いxについて、f(x)とf(a)の差がどれだけ小さい値εになったとしても、a左右に広がるxの区間(a除く)が存在できる。(この区間の長さをδとしておく)”

例を挙げる

例えば、xが0か正数のとき1,負数のとき0を取る関数を考え、これをf(x)とします。いまa=0の場合を考えます。

いまf(0)=1なので、1に近いf(x)を考えます。εを適当にとってどんどん小さくして、xの存在の可否を考えます。

ε=1.5のとき、x≧0とすれば

 |f(0) – f(0以上の値)| = 1 – 1 = 0 < ε

x<0とすれば

 ❘f(0) – f(負の値)❘ = 1 – 0 = 1 < ε

よって |f(x) − f(0)| < ε がなりたつ

ε=0.5のとき、x≧0とすれば

  |f(0) – f(0以上の値)| = 1 – 1 = 0 < ε

しかし、x<0のときは

 ❘f(0) – f(負の値)❘ = 1 – 0 = 1 > ε

となるので、 |f(x) − f(0)| < ε がなりたつ区間をx=0の左右に広げられないことがわかります。(右には広げられる)

これにより、f(x)がx=0で連続でないことがわかるわけです。

これを使った問題を見ましょう。

問題

Q.f : ℝ→ℝ, f(x) = x² (a ∊ ℝ) のとき、f(x) → a² (x→a)を示せ。

Hint : ε>0に対し、δ = min{ε/2|a|+1,1}とおくとよい。

これは解けることを求めないので解答行きますね。

A. ε>0を取り、Hintの通りδを定める。

 |f(x) – f(a)| = |x² – a²| = |x + a||x – a|

 |x – a| < δ のとき、|x| ≦ |x – a + a| ≦ |x -a| + |a| ≦ 1 + |a|より、x ≦ 1 + |a|であり、

 |f(x) – f(a)| = |x + a||x – a| ≦ (2|a| + 1)|x – a| = (2|a| + 1)δ < ε

 ゆえに、f(x)はx=aで連続□

 

皆さんにはこれを理解してもらいたいのではなく、「εをつかっていい感じのδを準備すれば |f(x) – f(a)| <εを示せる」ことに気付いてほしいのです。

ε-δ論法の「δが存在する」は、δを用意できる、と読み替えてもいいかもしれません。

最後に

完璧な理解、というのはなかなか難しいですがこの記事で少しでもε-δ論法のお気持ちを理解して、親しみを持ってくれたらうれしいです。

 

(少々難しい蛇足)これはいつでも使えるわけではありませんが、|f(x)-f(a)|は因数定理により|x-a|が出てきやすい性質があります。ですから、δがもろに出てくるのです。δは任意のεに対して”存在しうる”もの、すなわち”自分で定義してよいもの”ですから、εに適当な係数を付ければ |f(x)-f(a)| < (係数)δ = ε の形が作れてしまうわけですよ。面白いですね〜

 

 

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