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線形代数弐 写像とは

 youtube中毒者の皆さんなら絶対一回は聞いたことのある

 ”写像?写像ってなんすか?”

に今日はお答えしていきたいと思います。 

※某氏のセリフは実際は写像そのものの意味を訪ねているのではなく、文脈がぶっとんでるから今はどの「シャゾウ」なのかわからなかったとの意らしいので今回の意味とは異なります

写像の意味

 写像の意味を辞書で引くと次のように出てきます。

「集合Xの任意の元xに対して集合Yの一つの元yが対応するとき、この対応付けをXからYへの写像という。」(岩波理化学辞典)

 ここでいう元は要素と思ってもらえれば十分です。ある2つの集合があって、一方の集合から適当に一つ選べばもう一方の何かしらが対応する。その対応付けを写像というそうです。

 また、写像fにより元xが元yに対応付けられるときf: x → y と書きます。

例えば

 例えばライトはある種の写像として考えることもできます。実物の手を、黒い平面上の手に対応付けるのはライトですから、これは写像です。ライトは集合Xが実物の集合、Yが影絵の集合としたときに ライト : 実物 → 影絵 という風にあらわされる写像です。

数学で例えると

 関数は写像の非常にいい例でしょう。

 例えば x の関数 f(x) = x² (x ∊ R) は、1を1に、-3を9にといった風に、任意の実数をある正の数に対応付ける写像です。

 写像がどんなものかイメージわきましたか?                                                                       

 ここで皆さんに質問。次の問に答えてください 。

 

 Q. ① f : ℝ → ℝ : θ → sinθ と②f : ℝ → ℝ : x → 1/x はそれぞれ写像か.(ℝ→ℝはfが実数から実数へ対応付けることを表す)

 

ーーーーーーーーーーーこの下に解答ーーーーーーーーーーー

 

 

 

 A. ①は写像であり、②は写像でない。x=0は実数に属しているが 1/0 は定義されない。

 引っ掛かりましたか?写像の定義は、対応させる側の集合すべての要素をもう一方の要素に対応づけるものです。同じようにf(x) = logx.f(x) =tanxも写像にはなりませんね。関数すべてが写像ではないことに注意!

線形代数の話は?

 線形代数でも写像が出てくるんですよ。なにかって?それが行列です。行列は主に二つの顔を持ちます。

①数を長方形状に並べたもの/②線形写像

 行列は下のように単体でいるとただの数字の並びです

 しかし、このようにほかの行列に作用させると、それを別の行列に変化させる写像となるのです。

(画像の演算が何かはわからなくても全然OK!)

 この行列が写像としてどのようにふるまうのか…といった話は実は教科書では結構後ろの話だったりするんですが、線形代数は主としてこの行列を扱います。行列の基本的な性質(線形性の話含む)、行列を使った演算、最終的には行列の写像としての扱いについて、このウェブサイトではあつかっていこうと思っていますので見てください!

難しい蛇足

ここからは興味なかったり難しいという方は読まなくてOK!

 行列は数を並べたものと言いましたが、本当にそれ以上の意味はありません。行列ってベクトルに似てるなーと思う方もいらっしゃると思いますのでそこの違いをここに記しておきます。ベクトルは基底というものがあり、一時独立な複数の単位の実数倍の和で定義される物理量ですが、行列はそのような意味は持っておらず、ただ数字の羅列です。

 実は、行列のように2以上×2以上の数の並びでも基底を持つ物理量も考えられており、それをテンソルと言います。三つの基底が張る空間で立体的に存在する3×3×3の物理量を表したりするときに利用するそうです。私もそこまで詳しく教えられませんが物理を勉強しているとそのうち使うかもしれませんし、ぜひご自分で調べてみてください。

線形代数壱 線形代数とは

皆さんが大学に入って一番最初に触れた数学はなんでしたか?

僕は線形代数学でした。大学入試が終わった直後はそのうちやるだろうし予習しとくか~といって予習を少ししていましたがしょっぱなからその話だったのでびっくりしました(笑)。

線形代数ってなんだ?

まず、線形代数学という言葉を考えましょう。線形代数学という言葉は「線形」「代数学」という単語からなります。それぞれの言葉を辞書で引くと

線形は、「一次式であらわされる関係」

代数は、「数の代わりに文字を用い、計算の法則、方程式の解法などを主に研究する分野」

と出てきます。つまり、線形代数学は

「文字であらわすと一次式的な関係を持つ計算法則、方程式についての学問」

と言えるでしょう

具体的な例

xの関数 f(x) = 2x について、

             f(12) = 2 × 12 = 24

これは次のようにも計算できますね

            f(12) = 2 × ( 10 + 2 ) = 20 + 4 = 24

この計算結果をよく見ると、次の等式が成り立つことがわかると思います。

            f(12) = f(10) + f(2) = f(10) + 2 f(1) (・・・①)

f(12) を、f(10),f(1)の組み合わせであらわすことができました

一方、xの別の関数 f(x) = x² を考えます。

             f(12) = 12² = 144

これも先ほどと同じように複数の値に分割できるか考えます。

             f(12) = (10 + 2)² = 10² + 2 × 10 × 2 + 2²

                     = f(10) + 40 + f(2)

一次式のように、f(10)やf(1)の何倍かをたしあわせてf(12)を表すことはできなさそうです。

こういった、関数の値をほかの簡単な関数の値の何倍かの和であらわすことのできる性質のことを「線形性」といいます。

一般的に

これを「代数学」の意味にのっとって文字で置き換えて説明すると、

            f(ax + by) = a f(x) +b f(y)

となる関数は「線形性をもつ」と言います。わからない方は①をじっくり見てみてください。

線形代数学では、こういった性質をもつものを一般的に(代数的に)扱います。

”まとめると、一次関数みたいなのが線形性を持つってこと?”

半分正解半分不正解です。

というのは、実際に大学の教科書を開いたりしてみると、ベクトルや行列の話ばかりで、”どこが代数学なの??”となります。実は教科書は線形性のある「関数」はほとんど扱っておらず、線形性のある「写像」を扱っています。

”写像?写像って何すか?”という方、ぜひ次回の記事をご覧ください。

おわりに

この記事では、線形代数って何だ?というところから記事を書いてみました。

今後どんどん具体的に皆さんがつまずきそうなところを記事にしていきますので是非ご覧ください。

(蛇足)線形性の語源まで考えると、なぜ線にしたのか不思議ですよね。線の長さは線形性を持つっていえばそれまでなんだが。なにか考えがある人はコメント残してほしいな!