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ガンマ関数のお話

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 今回はガンマ関数のお話をするぞ~。ガンマ関数は広義積分の時に出てくる有名な無限区間の積分で、その意味が親しみ深さがある上に(後で解説)、記号がかっこいいので是非読んでほしいな~。(この記事では見やすさの都合上e^f(x)をexp(f(x))と書くことがあります。)

(このサイトは常に質問を受け付けております!コメント欄に質問をいただくと後に記事にてお答えいたしますのでバシバシ質問ください!!)

ガンマ関数の定義

 ガンマ関数Γ(s)は次で定義されます。

 ガンマ関数を扱う上での注意は、この関数自体はsの関数である一方で、右辺はxの積分であることです。sを代入して、右辺の積分を計算することで、Γ(s)が求まります。

ガンマ関数の性質

 ガンマ関数の性質で特筆すべきと思われるのは以下です。

・ガンマ関数の値は常に収束する。

・Γ(s+1)=sΓ(s)

特に二つ目の性質が面白いので詳しく紹介しますね。

 

ガウス関数の収束

 まず、なんでこの積分が収束するか確かめる理由を説明します。ガンマ関数は無限に伸びる区間で積分します。もちろん積分の中身は収束しますが、だからと言ってその無限区間での積分も収束するとは限りません。実際、次の積分は発散します。(証明は容易)ですから、この積分が常に有限値に収束することも非自明なので、示しておこうということです。

f(x) = exp(-x)x^s-1とする。f(x)の収束性はこれをより強い関数(収束する)で比較することで示すことができます。

 これにより、x→∞において分子≪分母となるので、xが十分大きい実数cを超えると必ず分子を分母が越えますね。

 分母の関数exp(-x/2)は0から∞まで積分しても収束しますから、もちろんcから∞において積分しても収束します。それより小さいf(x)もcから∞までの積分は収束するといえるでしょう。

 この、極限値が0だから一定値を超えたxの値に対しては必ず不等号の向きが確定する、という性質は様々な場面で有用で、こうすると無限を含む区間を一つの不等式で評価して、残りを有限区間で評価できるので、頭の片隅に入れておきましょう。

 次に0からcまでの積分が収束することを示します。これは有限区間の話なので比較的やりやすいかな?有限区間で積分が発散するとしたら積分区間のうちで連続でない点が存在する(逆にずっと連続なら当たり前に有限値じゃん?)ので、そう考えると当然収束しますが丁寧に示します。

 ますx≧0から次が言える。

 よって、これを積分しても不等号の向きは変わらず、

よって有限値の実数よりちいさいことから収束が示せました。ここは積分しやすい関数で上から抑えるってのがポイントかな。

以上を踏まえると、

が収束することがわかります。ただ収束することを示しただけですがかなりてんこ盛りの内容ですね。有益な情報が多いのでぜひ理解しましょう。

 

ガンマ関数の漸化式

 これはいったん計算過程を見てもらいましょう。

 漸化式を考えるので1増やした後から考えます。積分を含む漸化式で気を付けるのは「だいぶ近い形の積分」をいかに作るかです。今回なら、xの次数が1ずれた形を生み出すのが目標です。それによって、「部分積分の微分する側をx^sにしよう」と考えられるわけです。これは積分側のe^-xが積分によってほとんど変化しないこともやりやすさではあります。どうでしょうか、自分でもできる気がしてきましたか?

この漸化式がどうかしたのか、と言いたいそこのあなた!お待たせしました。次その話をします。

ガンマ関数の漸化式応用

 ガンマ関数を数列っぽく見てみましょう。イメージしやすさのためΓ(n)を a_nで置き換えます。

 これの一般項を求めるにはどうしますか?私ならこうします。

 なんと、階乗が出てきました。ついでにa_1も求めます。

 つまり… a_nを Γ(n) に戻すと。

 なんと、ガンマ関数は階乗を定義できる関数だったのです。

 この積分は計算できるとは限りませんが、これのグラフを書いて大体で面積を求めれば自然数に限らずどんな正数の階乗も計算できます。この積分が計算できる自然数でないnの例として、Γ(1/2)=√πがあり、これから(1/2)!=√π/2が求められます!(詳しくはこちら)

 すごくないですか?階乗を有理数全体に拡張して何になるんでしょうか。(笑)

おわりに

今回はガンマ関数について触れました。ガンマ関数という単語そのものがかっこいいのでこの記事を理解した皆さんはすぐさま友達にドヤ顔でガンマ関数のすごさを解説してください。

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ランダウの記号の使い方

 この記事では前回の記事(ランダウの記号のお気持ち)で扱ったランダウの記号について、具体的な使い方を紹介します!話についていけなくなったら前回の記事をぜひご覧ください!

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早速問題!

次の極限を求めましょう。(入門微分積分より。これよりいいの考えつかなかった。)

こたえ

ここで注意なのは、ランダウの記号により関数の二次近似が等式で結べていること。それにより極限値の計算が多項式でできていることですね!(個人的にはここが推せる)

追記:いまはx→0とlimの下に書いてるので(x→0)と書く必要はありません

上で書いたような、関数をある値の周りで一定の次数まで多項式で表して残りをランダウの記号でまとめる記法を、漸近展開と言います。(かっこいい)

以下に有名な漸近展開をまとめます。とかいうのはどっかの誰かがやってそうなのでここではやりません。ここに初等関数のマクローリン展開がまとめてあるのでここを見て、x³以下の項をo(x²)とまとめればよいでしょう。

漸近展開かっこいいな!!もっとおせーろ!!という方に、すごいものをお見せしましょう。

漸近展開で合成関数を近似

な、なんだってぇ~!!(茶番)

漸近展開を用いれば、合成関数までも近似できてしまうのです。そこで見ていてください…

これすごくないですか?ちなみにグラフにするとこんな感じ。

あーんまり制度はよくないですね。0.3-4ずれぐらい?でも近い形になったのは事実なのでセーフとしましょう。

上の計算を見てもらえればわかるかもしれませんが、これ、近似の制度を挙げると計算量が凄まじくなります。なので二次で妥協させてもらいました。(項数と累乗が大きくなるから、で伝わるかな?)とはいえ、粗い評価に使うくらいはできそう!

まとめ

ほかにも、ランダウの記号を使った漸近展開には、x=0における近似制度の良さを利用した様々な用途があります。これで少しくらいは使い方のイメージがわいたかな?

もっと詳しく知りたい人のために有益なURLを張ります。

漸近展開とかを使った計算:名城大学の資料

変形ベッセル関数の近似:新潟工科大学の資料

(脱線)

cose^xのグラフなんですが、あのフレームの外側はこんな感じ。指数関数すげえ!

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ランダウの記号のお気持ち

 大学の微積分の教科書前半で割と目新しい部類に含まれるうえにわかりづらいのがこれですね〜。今回はこれのお気持ちを理解するぞー。

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まずは定義

 点a近くで定義された二つの関数f.gに対し、

であるならば、

とかく。このo()をランダウの記号という。

(以下、ランダウの記号の定義で考えたf(x)を「弱い方」、分子g(x)を「強い方」と呼びますのでご了承ください)

例を挙げる

 ランダウの記号は例えば、 cosx – 1 = o(x) (x → 0), e^x – 1 – x = o(x) (x → 0)といったように使う評価式です。これらを定義で確認すると、

のようになります。

(評価式…一方の辺を意味づけして見るための式(評価する式)。評価式は具体的な数値や式そのものを表さず、四則演算の法則は適用できないし、等式の法則も使えない。)

 感覚でのとらえ方を言うと、「()内の式よりも点aにおいて十分弱い何かしらの関数」がランダウの記号の気持ちです。

さらにkwsk!

 この気持ちをできるだけわかってほしいのでもっと詳しく説明します。

 o(g(x))(x→a)と書いているときには、x→aにおいてg(x)より十分弱い何かしらの関数を置き換えていると思えば良いです。何が入っていてもおk、弱ければ。

 例えば数学の話をしていてo(x²)とかいたとき、「今考えているxの範囲でx²より弱い関数はほぼ意味がないからわざわざ細かいところまでかきたくない。o(x²)でまとめてしまおう」という考えが背景としてがあります。o(x²)でまとめると何が入っているかわからなず弱いことしかわからないけど、それくらいの情報が伝えられれば良い。そういうときに使うのがこの記号です。

有名な近似で、e^x ≒ 1 + x + x²/2 (x≒0)というのがあります。実際グラフで書いてみると下のようにかなりいい制度の近似です。(緑が左辺、青が右辺のグラフ)

このとき、e^xについてx=0近辺で多項式として扱いたいとき、x²より次数が高い項はほとんど影響がないとしてまとめるときにo(x²)と表せば次のようにあらわせます。

(ここは個人の見解)この書き方、何がいいかっていうと≒を使わずに関数を近似に近い形で表せるのが強みだと思うんですよね。物理や化学を勉強しているとよく≒を使いますけど≒ってどのオーダーから近似してんだよ、と思うことが高校生のころ多々あったので、こういった形で極限に基づいてある程度厳密に(?)評価できるという点でランダウの記号が私は好き。

ランダウの記号の性質

ランダウの記号について有名な三つの性質を紹介します。(入門微分積分より)

これらの性質は、ランダウの記号のお気持ちがわかっていればよゆーでわかると思います。わからなければ出直してこい!!とは言いませんがどうでしょうか?

(1)x^nより弱い関数にx^mをかけたらx^m+nより弱い関数になる。(2) x^nより弱い関数にx^mより弱い関数をかけたらx^m+nより弱い関数になる。 (3) 二つの関数足したら強い方よりは弱くなる

以上がランダウの記号のお気持ちです!(個人的にはだいぶわかりやすくまとめられたような気がする!)次の記事でこれを有効活用した例も紹介するので是非ご覧ください
!→次の記事を見る

絶対わかるε-δ(イプシロンデルタ)論法の使い方

 すべての大学生の前に立ちはだかる第一の壁とか言われるこれを扱っていくぞ!

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まずは定義

 ε-δ論法は次のように関数の連続を定義します。

”関数f(x)がx=aで連続であることは次に等しい。任意の正の数 ε に対し、ある適当な正の数 δ が存在して、0 < |x − a| < δ を満たす全ての実数 x に対し、|f(x) − f(a)| < ε が成り立つ。”(wikipediaより部分抜粋)

 日本語で若干わかりやすく言い換えるとこんな感じ

”関数f(x)がx=aで連続であることは次に等しい。あるaに近いxについて、f(x)とf(a)の差がどれだけ小さい値εになったとしても、a左右に広がるxの区間(a除く)が存在できる。(この区間の長さをδとしておく)”

例を挙げる

例えば、xが0か正数のとき1,負数のとき0を取る関数を考え、これをf(x)とします。いまa=0の場合を考えます。

いまf(0)=1なので、1に近いf(x)を考えます。εを適当にとってどんどん小さくして、xの存在の可否を考えます。

ε=1.5のとき、x≧0とすれば

 |f(0) – f(0以上の値)| = 1 – 1 = 0 < ε

x<0とすれば

 ❘f(0) – f(負の値)❘ = 1 – 0 = 1 < ε

よって |f(x) − f(0)| < ε がなりたつ

ε=0.5のとき、x≧0とすれば

  |f(0) – f(0以上の値)| = 1 – 1 = 0 < ε

しかし、x<0のときは

 ❘f(0) – f(負の値)❘ = 1 – 0 = 1 > ε

となるので、 |f(x) − f(0)| < ε がなりたつ区間をx=0の左右に広げられないことがわかります。(右には広げられる)

これにより、f(x)がx=0で連続でないことがわかるわけです。

これを使った問題を見ましょう。

問題

Q.f : ℝ→ℝ, f(x) = x² (a ∊ ℝ) のとき、f(x) → a² (x→a)を示せ。

Hint : ε>0に対し、δ = min{ε/2|a|+1,1}とおくとよい。

これは解けることを求めないので解答行きますね。

A. ε>0を取り、Hintの通りδを定める。

 |f(x) – f(a)| = |x² – a²| = |x + a||x – a|

 |x – a| < δ のとき、|x| ≦ |x – a + a| ≦ |x -a| + |a| ≦ 1 + |a|より、x ≦ 1 + |a|であり、

 |f(x) – f(a)| = |x + a||x – a| ≦ (2|a| + 1)|x – a| = (2|a| + 1)δ < ε

 ゆえに、f(x)はx=aで連続□

 

皆さんにはこれを理解してもらいたいのではなく、「εをつかっていい感じのδを準備すれば |f(x) – f(a)| <εを示せる」ことに気付いてほしいのです。

ε-δ論法の「δが存在する」は、δを用意できる、と読み替えてもいいかもしれません。

最後に

完璧な理解、というのはなかなか難しいですがこの記事で少しでもε-δ論法のお気持ちを理解して、親しみを持ってくれたらうれしいです。

 

(少々難しい蛇足)これはいつでも使えるわけではありませんが、|f(x)-f(a)|は因数定理により|x-a|が出てきやすい性質があります。ですから、δがもろに出てくるのです。δは任意のεに対して”存在しうる”もの、すなわち”自分で定義してよいもの”ですから、εに適当な係数を付ければ |f(x)-f(a)| < (係数)δ = ε の形が作れてしまうわけですよ。面白いですね〜

 

 

逆三角関数とは?微分?

 数学って、”逆”が大好きですよね。高校で勉強してた時も、図形と方程式の問題で”逆も同様に成り立つか調べろ”って耳にタコができるほど言われたのを覚えています。

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なんなんですか

 はい、逆三角関数の話をします。皆さん三角関数って習いましたよね。sinとかcosとかtanですね。今回はその逆関数です。三角関数の逆関数を考えるうえで注意しなくてはならない点が一つあって、それが定義域、値域です

性質を知りたい人はここから、微積分について知りたい人は後半からご覧ください!

定義域と値域

y = sinx は定義域(-∞,∞)、値域 -1 ≦ y ≦ 1で、これは周期関数ですのでひとつのyに対して無数のxが存在します。つまりxがyの関数でないのです。これでは逆関数を定義できません。ですので定義域を値域が重複しない[-π/2,π/2]で切り取ります。そうして逆関数の定義通りグラフをy = x対象にクルっとして、右のようなグラフができます。この関数を y = Sin⁻¹x とかき、「アークサインx」「サインー1乗x」のように呼びます。これは定義域[-1,1]で値域[-π/2,π/2]ですね。sinxの切り取り後の定義域、値域が逆転しております。

y = cosx は定義域(-∞,∞)、値域 -1 ≦ y ≦ 1で、これもひとつのyに対して無数のxが存在しますので、今回は定義域を値域が重複しない[0,π/2]で切り取ります。そうして逆関数の定義通りグラフをy = x対象にクルっとして、右のようなグラフができます。この関数を y = Cos⁻¹x とかき、「アークコサインx」「コサインー1乗x」のように呼びます。 これは定義域[-1,1]で値域[0,π]ですね。cosxの切り取り後の定義域、値域が逆転しております。

y = tanx は定義域(-∞,∞)、値域 -∞ ≦ y ≦ ∞で、これも同様にyに対して無数のxが存在しますので定義域を値域が重複しない[-π/2,π/2]で切り取ります。そうして逆関数の定義通りグラフをy = x対象にクルっとして、右のようなグラフができます。この関数を y = Tan⁻¹x とかき、「アークタンジェントx」「タンジェントー1乗x」のように呼びます。 これは定義域(-∞,∞)で値域[ -π/2,π/2 ]ですね。tanxの切り取り後の定義域、値域が逆転しております。

これまでが今までもあったような逆関数の話で、ここから微積分っぽい話になります。

逆三角関数の微積分

逆三角関数の微分ではこれをめっちゃ重宝します。

なぜかって?逆三角関数の話は全然知らんくても三角関数の話はめっちゃ知ってるからです。というのは、例えばy = Sin⁻¹xの微分を考えるときに、上の等式を用いればこれを sinx の微分に置き換えられるのです!

dy/dx は Sin⁻¹xをxで微分しなければならないけど、x = siny であるがゆえに、dx/dy は cosyであることがわかります!(画期的!!)

dx/dy = cosy = √1-sin²y = √1-x²(xで表そう!)

ですから、すみやかに dy/dx = 1/√1-x² が求まります。

この考え方(逆関数の微分)は是非身につけましょう!友達にドヤれます。

例題

y = tanx の逆関数を微分しなさい。

 

 

解答

y = tanx の逆関数は x = tany であり、

dx/dy = 1/cos²y = 1 + x²

∴dy/dx = 1 / 1 + x²

 


どうでしょうか。案外簡単じゃありませんか?おなじようにcosxの逆関数の微分も導いてみてください(答は-1/√1-x²)

補足

微分の反対は積分ですから、1/√1-x²の積分がSin⁻¹xであることもわかりますね。勘のいいひとは気づいていたかもしれませんが、大学受験で頻出の下の積分はこんな解法があったんですよ!

最後に

最後までご覧くださった皆さんありがとうございます!この記事に評価を付けたりSNSで拡散してくださると投稿の励みになりますのでよろしくお願いします!